Вычисление производных явно заданных функций

Глава 2. Вычисление производных
Вычисление производных явно заданных функций Вычисление производных функций, заданных параметрически Производные от неявно заданных функций Производные высших порядков Вычисление пределов Экстрему...
Вычисление производных явно заданных функций
Для вычисления производной в Maple предусмотрена процедура diff()5 параметрами которой являются: а) функция, от которой берут производную, и б) переменная, по которой эту производную следует брать...
Совет
Команда value() используется для вычисления значения не только упомянутой процедуры Diff (),но и других процедур в неактивной форме. Кроме того, для вычисления производных в Maple может использоват...
Решение задачи
С помощью оператора D это делается несколько иначе....
Решение задачи
Допустим и такой синтаксис вызова оператора D....
Решение задачи
В последнем случае в первых скобках после оператора D указывается оператор (функция), на который действует D, а в следующих скобках — аргумент для полученного в результате оператора (в данном случ...
На заметку
С точки зрения Maple функция и оператор — практически одно и то же. Под функцией будем, ради удобства, понимать результат действия оператора на аргумент. Иногда, если это не приводит к недоразумени...
Задача 2.1
Найти производную функции В первую очередь определим саму функцию, от которой следует брать производную. Сделать это можно следующим образом....
Решение задачи
Здесь у — функция (ее название), которой в качестве значения присваивается (:*) оператор. Оператор задается так: сначала указывается аргумент (или несколько аргументов), потом отображается стрелка...
Решение задачи
Если воспользоваться оператором D, то получим несколько иной результат....
Решение задачи
Другими словами, результат такой операции — оператор. Приведенная выше запись значит, что аргументу х в результате действия на него оператора D(y) в соответствие ставится выражение, которое указан...
Решение задачи
Но даже после упрощения выражения его вид может не соответствовать представлениям пользователя о простоте и элегантности. На этот случай в Maple предусмотрен ряд полезных утилит, позволяющих приве...
Решение задачи
В качестве первого параметра в ней использована уже упоминавшаяся переменная среды (%), а вторым параметром указана опция trig. Это инструкция для вычислительного ядра Maple использовать встроенны...
На заметку
Доступ к справочной информации о процедуре combine (), как и о прочих процедурах и командах, можно получить, разместив в рабочем листе курсор на вызове этой процедуры и нажав F1. Там можно найти по...
Решение задачи



Выражение в левой части заключено в обратные кавычки. Все, что находится в этих кавычках, вычислительным ядром Maple не вычисляется и в области вывода отображается в "первозданном виде". Выше эта...
На заметку
Можно для этих целей применять неактивную форму команды дифференцирования Diff {}. Однако в этом случае используется синтаксис как для частной производной, что математически не совсем корректно. Сл...
Задача 2.2
Найти производную функции у(х) =х+х^х+х^(х^х). В этом случае переменной у присвоим значение х+х^х+х^(х^х) (но теперь у — это уже не функция от х, а выражение!)....
Решение задачи
На заметку Операция возведения в степень (^ или **) является бинарной. Это значит, что запись вида а^b^с некорректна. Следует использовать скобки: (а^b)^с. При дифференцировании в качестве первого...
Решение задачи
В отличие от предыдущей задачи, зависимость выражения у от х явно не указывается (здесь как раз и проявляется то, что зависимость не является функциональной). В предыдущей задаче переменная у объя...
Задача 2.3
Найти производную функции у(х)=х^(1/х). В качестве параметра процедуры diff () можно сразу указать дифференцируемое выражение....
Решение задачи
Поскольку очевидно, что в полученном после дифференцирования выражении имеется возможность вынести за скобки общий множитель, воспользуемся следующей командой....
Решение задачи
Переменная среды %, указанная в качестве первого параметра процедуры collect!), определяет выражение, которое нужно преобразовать, а второй параметр указывает на то, что в выражении слагаемые след...
На заметку
Если при вызове процедуры collect() вторым параметром указать не 1/х, а х, результат не изменится. Причина в том, что 1/х — это х в степени -1. Вычислительное ядро Maple достаточно эффективно работ...
Задача 2.4
Найти производную функции Определяем функцию у(х) следующим образом....
Решение задачи
При этом целая часть числа х возвращается функцией Maple floor()....
На заметку
В Maple есть функция trune(), действие которой во многом аналогично действию функции floor)). Однако функция trunc() выделяет целую часть аргумента "в направлении О", в то время как функция floor (...
Решение задачи
Последнее выражение содержит функцию floor(), у которой указано два аргумента. В этом случае первый аргумент определяет порядок производной, второй — непосредственно аргумент. Другими словами, flo...
Решение задачи
Чтобы представить себе, что же это за функция, построим ее график....
Решение задачи
В качестве первого аргумента процедуры plot(), используемой для отображения двухмерных графиков, указывается выражение, график которого следует построить. В данном случае это выражение определяетс...
На заметку
Если диапазон изменения не указать, то по умолчанию график строится на интервале -10.. 10. Следующие параметры являются необязательными. В приведенном примере это заголовок (опция title) и шрифт дл...
На заметку
Списком в Maple называется последовательность разделенных через запятую элементов (самого разного характера), заключенная в квадратные скобки. В списке имеет значение порядок следования элементов —...
Примечание
Некоторые параметры графиков можно изменять уже после их отображения в области вывода непосредственно с помощью кнопок контекстной панели двухмерной графики vu команд раскрывающегося меню. Описание...
Задача 2.5
Найти производную и построить график функции и ее производной, если Чтобы задать такую функцию, поступим следующим образом....
Решение задачи
В качестве аргументов функции piecewise() указываются поочередно ш тервал (в виде неравенства) и значение функции на этом интервале. После, ний интервал не указывается — только значение функции. Ф...
Решение задачи
Если теперь указать аргумент, получим выражение для производной:...
Решение задачи
Графики функции у(х) и ее производной построим с помощью уже знаке мой процедуры plot(), только в этом случае первым аргументом указываете список из двух функций. Точно так же задаются значения оп...
На заметку
Чтобы при вводе кода перейти на следующую строку, не "спровоцировав" при этом вычислительное ядро Maple на выполнение вводимой команды, следует нажать Shift+Enter....
Решение задачи
Здесь использованы новые опции: color для определения цвета линий, style для определения стиля линий (первый график отображается точками, второй — непосредственно линией), symbol для определения с...
Задача 2.6
Найти производную и построить график функции и ее производной, если...
Решение задачи
Исходную функцию определяем следующим образом (процедура abs () возвращает в качестве значения модуль аргумента)....
Решение задачи
Однако производную определим не как функцию, а как выражение....
Решение задачи
Видим, что производная не определена в точках х=-1 и х=1 (undefined — значит неопределенный). Ниже строится график исходной функции и ее производной. Следует обратить внимание на то, что оператор...
Решение задачи
Опция linestyle определяет стиль линий: первый график отображается сплошной линией (SOLID), второй — штрихпунктирной (DASHDOT)....
Экстремум функции нескольких переменных
Исследование функции нескольких переменных на экстремум отличается от того, что выполняется в случае функции одной переменной. Однако "базовый" принцип все тот же — сначала следует найти точки, в...
Задача 2.26
Исследовать на экстремум функцию z = х* +у* -х2 -2ху -у2. Задаем функцию z, зависящую от двух переменных х и у....
Решение задачи
На следующем этапе нужно решить систему двух уравнений, в которых ча-1 стные производные от функции z первого порядка приравнены к нулю. Но сначала эту систему (назовем ее SysEq) следует описать....
Решение задачи
Теперь решаем систему....
Решение задачи
В полученном множестве представлено три решения (каждое из которых L также является множеством): первые два действительные, а третье, представленное посредством функции RootOf(), комплексное. Посл...
Решение задачи

Совет
Эту же процедуру можно было определить иначе: F:=(x,у,n,m)-D[n.m] (z) (x,у). Матрица А — это матрица вторых производных исследуемой на экстремум функции в первой точке предполагаемого экстремума, в...
Решение задачи
Чтобы выяснить, являются ли исследуемые точки экстремальными, нужно вычислить детерминанты определенных выше матриц. В пакете linalg для этих целей предусмотрена процедура det(), которую можно выз...
Решение задачи
Поскольку детерминант меньше нуля, то в первой точке экстремума нет. Ниже показано, как вызвать все ту же процедуру, но с несколько иным синтаксисом (сначала подключается пакет)....
Решение задачи
Здесь детерминант больше нуля. Следовательно, вторая точка является точкой экстремума....
Примечание
В Maple 9 процедуры пакета linalg распределены по пакетам LinearAlgebra и VectorCal-culus. Однако на пакет linalg можно по-прежнему ссылаться, что и было сделано выше. Необходимо определить знак пе...
Решение задачи
Поскольку этот элемент больше нуля, приходим к выводу, что точка (х=1, у=1) является точкой минимума....
На заметку
Ссылка на элемент матрицы в выполняется в виде В[ i, j ], где i и j — индексы вызываемого элемента....
Задача 2.27
Найти экстремальное значение неявно заданной функции z от переменных х И у, если хг+у2 +z* -2x -2y-4z-l0 = 0. В данном случае имеем дело с неявно заданной функцией. Вначале запишем уравнение....
Решение задачи
После этого достаточно просто вычислить частные производные от z по х и у....
Решение задачи
На первое выражение можно сослаться посредством переменной среды %%, второе — переменной *. Приравниваем их к нулю, заключаем в фигурные и, указав в качестве параметра процедуры solve(), решаем та...
Решение задачи
Частные производные одновременно равны нулю только в одной точке Цшеется в виду точка на множестве х и у). Вычисляем производные второго порядка и присваиваем их в качестве ачений переменным All,...
Решение задачи
Теперь переменным х и у присваиваем соответствующие значения....
Решение задачи
Далее следует выяснить, чему равно значение функции при данных значениях переменных....
Решение задачи
При этом выражения для определенных ранее переменных существенно упрощаются....
Решение задачи
Детерминант определим следующим образом (переменная Determ)....
Решение задачи

Примечание
В данном случае никаких матриц мы не вводили. Но если бы ввели, то элементы матрицы вторых производных определялись через переменные All, A12 и А22, а детерминант (определитель) матрицы был именно...
Решение задачи
Детерминант больше нуля, а переменная АН отрицательна (это был бы диагональный элемент матрицы)....
Решение задачи
Вывод: исследуемая точка (x=l,y=-l,z=6) — точка максимума. В другой точке имеем следующее....
Решение задачи
В данном случае получили, что и детерминант, и All — больше нуля. Сле-|довательно, точка (x=l,y=-l,z=-2) — точка минимума....
Задача 2.28
Найти точки условного экстремума функции и = хг +/, если х/а+у/Ь = 1. Это задача на условный экстремум, и решать ее будем методом неопределенных множителей Лагранжа. Вводим функцию z, которая, пом...
Решение задачи
Инициализируем переменную-множество EqSeq для записи в нее в последующем уравнений, определяющих точки возможного экстремума....
Решение задачи
На следующем этапе заполняем это множество уравнениями. Каждое такое уравнение — приравненная к нулю производная по одной из переменных х, у или по параметру к. Весь процесс автоматизирован посред...
Решение задачи
В рамках этого оператора при помощи переменной t перебираются все параметры, по которым берется производная, сама производная приравнивается к нулю, а уравнение записывается с помощью оператора об...
Решение задачи
Теперь эту систему решаем....
Решение задачи
Параметру к присваиваем найденное выше значение....
Решение задачи

На заметку
Ссылка rhs(op(l)[3]) выполнена на правую часть равенства, которое является третьим [элементом множества, полученного на предыдущем этапе при решении системы уравнений. От сеанса к сеансу вычислител...
Решение задачи
Ниже показано, как с помощью процедуры ор() можно "извлечь" накла-лваемое на переменные условие (оно необходимо для установления взаимо-зи между дифференциалами переменных х и у)....
На заметку
умеется, можно было просто задать данное условие в явном виде. Но, как поется в песне, "нормальные герои всегда идут в обход". Определяем операнды исходной функции г....
Решение задачи
Из этой последовательности интерес представляет уравнение, накладывающее ограничение на переменные. С точностью до коэффициента оно будет таким:...
Решение задачи
Снова разбиваем уравнение на операнды....
Решение задачи
Теперь само уравнение используем для того, чтобы связать между собой дифференциалы dx и dy....
Решение задачи
Дифференциал dy выражаем через dx....
Решение задачи
Полный дифференциал тогда равен следующему....
Решение задачи
Группируем слагаемые при dx, в результате чего получим:...
Решение задачи
Определяем знак этого выражения....
Решение задачи
Таким образом, приходим к выводу, что функция имеет условный минимум....
Заключительные замечания
Рассмотренные в этой главе задачи достаточно просты, и их решение не вызывает принципиальных сложностей. Решения основываются на использовании базовых, наиболее общих процедур Maple и демонстрирую...
Контрольные вопросы
Какие из приведенных команд корректны? Каков результат их выполнения? a)diff(x*2,x); б)D(cos)(x); в)diff(x,l); г)D(l); Переменная у описана как y:=t*sin(x). Чему равен результат выполнения следующ...
Вычисление производных функций, заданных параметрически
При вычислении производных функций, заданных параметрически, по сравнению с явно заданными функциями, принципиально ничего не меняется. Однако сама процедура вычисления производных (особенно высши...
Задача 2.7
Найти производную функции, заданной параметрически: x(t) = acos(t) и y(t) = bsin(t). Переменной х присвоим значение....
Решение задачи
Так же поступим и с переменной у....
Решение задачи
Теперь х и у являются выражениями, которые зависят от переменной-параметра t; по этому параметру их можно дифференцировать. Поэтому остается только воспользоваться приведенной выше формулой для пр...
Решение задачи
Построим график функции и ее производной с помощью процедуры plot(). При построении графика только одной функции, заданной в параметрическом виде, первым параметром процедуры указывается список, э...
Примечание
Именно наличие третьего параметра в списке при отображении заданной в параметриче-V ском виде функции является индикатором того, что строится график параметрической функции, а не графики двух разны...
Решение задачи
Следует обратить внимание на то, что при определении заголовка использовался символ перехода на новую строку (\n). Данный символ рекомендуется использовать при длинных заголовках, чтобы при отобра...
Задача 2.8
Найти производную функции, заданной параметрически: Для решения поставленной задачи опишем специальную процедуру....
Решение задачи
Название parametricdiff новой процедуры, заключенное в обратные кавычки, определяется пользователем (его можно изменить по своему усмотрению). В данном случае кавычки не имеют значения, все и так...
Решение задачи

На заметку
Тот факт, что переменные х и у использовались в описании процедуры, не мешает описывать их как функции параметра. Дело в том, что Maple предусмотрительно различает переменные, используемые при опис...
Решение задачи
Но в данном случае упростить результат все же придется....
Решение задачи
Очевидно, что последняя операция не всегда является необходимой — упрощение выражений зависит от многих факторов, в том числе и от предпочтений пользователя....
Производные от неявно заданных функций
Очень часто приходится вычислять производные функций, которые заданы в неявном виде. Задаются такие функции, как правило, с помощью уравнений, в которые входит как переменная (или переменные — для...
Задача 2.9
Найти производную функции у(х), заданной неявно: х2 +2ху -у=2х . Сначала построим график функции, от которой следует искать производную. Процедура implicitplot() позволяет строить графики функций,...
Решение задачи

Примечание
В пакете plots имеется процедура changecoords (), название которой совпадает с названием стандартной процедуры changecoords (), доступной и без подключения пакета. Выше можно видеть сообщение о том...
Решение задачи
Для вычисления производной воспользуемся, как уже отмечалось, процедурой implicitdiff(), первым параметром которой является выражение, неявно задающее функцию, вторым — функция, от которой нужно и...
Решение задачи
Левая часть равенства нужна исключительно для "художественного" оформления результата. Разумеется, неплохо было бы построить график найденной выше производной. Для обозначения этой производной вве...
Решение задачи
Процедура rhs() в качестве своего значения возвращает правую часть равенства (то, что находится после знака равенства), указанного ее параметром. В данном случае rhs(%) возвращает значение произво...
Решение задачи
Выше использована процедура solve(). Первым параметром этой процедуры является решаемое уравнение, вторым — переменная, относительно которой уравнение решается. Для ссылки на уравнение использован...
Примечание
Процедура solve () позволяет решить уравнение, указанное первым параметром, относительно второго параметра. Однако в качестве значения решение этому второму параметру не присваивается! Поэтому в пр...
Решение задачи
Опция labels используется для определения надписей по осям координат, а специфичная для процедуры implicitplot() опция grid задает число базовых точек по осям абсцисс и ординат, на основе которых...
Задача 2.10
Чему равно значение у при х = 2 и у = 4 и при х =2 и у = 0 , если (эллипс)? Для начала задаем уравнение F, определяющее функцию....
Решение задачи
Выражение Fx определяет производную. Записывается оно с помощью процедуры implicitdiff (), первым параметром которой указывается дифференцируемое выражение (F), затем следует переменная, которую п...
Решение задачи
Переменным х и у присваиваем следующие значения....
Решение задачи
Если теперь вызвать Fx, то в этом выражении х и у будут заменены значениями, присвоенными этим переменным выше. В этом случае получим значение производной в соответствующей точке. Однако вызвать F...
Решение задачи
Чтобы вычислить производную в другой точке, переменной у следует присвоить новое значение (переменная х значения в новой точке не меняет)....
Решение задачи
Однако результат несколько неожиданный....
Решение задачи
Дело в том, что производной в этой точке не существует (точнее, она равна бесконечности, поскольку в выражении для производной у находится в знаменателе, и поэтому точка у=0 является особой). Част...
Задача 2.11
Чему равна производная у'(х), если функция задана уравнением r = aф (спираль Архимеда). График для спирали Архимеда строится с помощью процедуры plot(), только в данном случае следует указать, что...
Решение задачи
Далее переменной Eq в качестве значения присвоим уравнение спирали Архимеда....
Решение задачи
Теперь от полярной системы координат переходим к декартовой....
Решение задачи
После этого можем вычислить производную (переменная Deriv)....
Решение задачи
Параметром процедуры implicitdiff () является уравнение Eq, которое, как известно, записано, в полярной системе координат. Однако поскольку на предыдущем этапе переменным гиф были присвоены значен...
Примечание
Текст после знака # трактуется ядром Maple как комментарий и при выполнении команд игнорируется. Сделать это можно, присвоив переменным г и ф в качестве значений "самих себя"....
Решение задачи

На заметку
Одинарные кавычки используются для формирования названий. Если переменной не присвоено значение, то по умолчанию ее значением является ее же название. Поэтому выше для "восстановления'' переменных...
Решение задачи
В этом случае производная равна следующему....
Решение задачи
После упрощения получаем следующее....
Решение задачи
Для дальнейших преобразований вычислительному ядру Maple следует сообщить, что не может быть отрицательным (процедура assume! ))...
Решение задачи

Примечание
Для того чтобы на переменную наложить какие-то ограничения, как было показано выше, используется процедура assume (). Например, можно определить переменную а как такую, что больше 1: assume(al). Од...
На заметку
По умолчанию переменные, на которые наложены ограничения, отображаются в рабочих листах со знаком тильды ("). Этот режим можно отключить. Для этого, например, в Maple 7 в меню Options (Сервис) след...
Решение задачи
Тогда в предположении неотрицательного угла и параметра а находим, наконец, производную....
Решение задачи
Это выражение можно преобразовать — например, перейти от использования синусов и косинусов к тангенсам. Для этого понадобится процедура выполнения замены subs ():...
Решение задачи
Равенство (sin(phi)=tan(phi)*cos(phi)) в первом параметре процедуры указывает на то, что синус следует представить как произведение тангенса на косинус, а второй параметр (переменная среды %) опре...
Решение задачи
Использование процедуры simplify!) в последнем случае вместо процедуры normal() нецелесообразно, поскольку с точки зрения базовых алгоритмов Maple упрощение состоит в переходе от тангенса к синусу...
Производные высших порядков
Достаточно просто вычисляются и производные высших порядков. Для этого используется все та же процедура diff(). Синтаксис вызова этой процедуры для вычисления производных высших порядков описывает...
Решение задачи
В области вывода оператор D(f) означает производную от функции f() по аргументу, а число в скобках вверху у оператора D определяет порядок такой производной. Другой подход состоит в том, чтобы исп...
Решение задачи

На заметку
Таким образом, если после переменной дифференцирования указать оператор $ и целое неотрицательное число, то это число будет определять порядок производной. Подобный подход весьма удобен в тех случа...
Решение задачи
После этого ее можно продифференцировать нужное количество раз....
Решение задачи
Ситуация несколько усложняется, если функция задана в параметрическом f виде. Как поступать в этих случаях, показано в следующем примере....
Задача 2.14
Найти y(x), если x(t) = 2t-t2 и y(i) = 3t-t3. Вначале определим параметрические зависимости для х и у (т.е. объявим эти переменные как функции одного параметра)....
Решение задачи
Теперь определим процедуру paramdiff() (точнее, оператор, т.е. в качестве результата процедурой возвращается действие), параметрами которой являются две функции (у() и х()). Действие данного опера...
На заметку
Чтобы этот код не отображался, в конце процедуры достаточно поставить двоеточие. В процедуре описана локальная переменная t, которая доступна только внутри тела процедуры. Далее следует команда, оп...
Решение задачи

На заметку
То, что в предыдущей команде при вызове paramdiff () в качестве аргумента указана переменная t, которая формально идентична локальной переменной в описании этой процедуры, — простое совпадение. Мож...
Решение задачи
Вторую производную (не используя полученного выше выражения для первой производной) можно вычислить, дважды вызвав процедуру paramdiff ()....
Решение задачи
Третью производную вычислим "традиционным" способом....