Интерполяция методом Лагранжа

На практике очень часто приходится иметь дело с данными, которые представлены в виде таблиц и задают зависимость одних параметров исследуемого явления от других. Задача состоит в том, чтобы по таким данным восстановить соответствующую аналитическую зависимость.

Предположим, имеется таблица значений неизвестной функции f(x) в точках х0, х,, ... х„. Другими словами, известны только значения функции в этих точках: f(x), к = 0..и. По этим значениям предстоит построить такую функцию f(х), чтобы она с приемлемой точностью аппроксимировала исходную функцию f(x) (что такое приемлемая точность — вопрос отдельный!) и ее значения в точках хк совпадали со значениями функции в этих точках (которые, кстати, называются узлами). Задача построения такой функции и называется задачей интерполирования.

К задачам интерполирования прибегают не только в случаях, когда вид функции f(x) неизвестен, но и когда известное аналитическое выражение для f(x) слишком громоздко и неприемлемо для проведения вычислительных оценок.

Как правило, при интерполировании выбирается набор базисных функций и интерполирующая функция <р(х) строится в виде линейной их комбинации. Такие базисные функции, как минимум, должны быть линейно независимы на отрезке, на котором выполняется интерполирование. Часто в качестве базисных функций выбирают ограниченный базис из набора ортогональных функций — например, классических ортогональных полиномов.